大学物理的数学必备(一）：矢量、微分与导数

本篇介绍矢量、微分和导数等内容中对大物较重要的方面。至于那些经常用到的基本内容，如求极限（如洛必达法则）、求导（如一些常见的函数的导数）和求极值（如极值条件）等就不讲了。另外，这些要点并不是按照物理课本内容的先后顺序安排的，而是按照数学上的相关性放在一起的，有些内容在大物下学期才会用到。

矢量可用黑体字母或带箭头的字母表示，例如  或者  ，其大小(模)可用符号  表示，即  ，而  方向的单位矢量可表示为 反过来，任何矢量  总可表示为  。

三维正交坐标系的单位矢量通常用  (  )表示。如果是直角坐标系，又经常用  表示；而如果是球坐标系，经常用  表示；自然坐标系中只有两个单位矢量，分别是轨迹切向的  和法向的  。它们的大小都为1，两两相互正交：  。

值得注意的是：直角坐标系的单位矢量是恒矢量，即时间导数为零，但是其他的坐标系的单位矢量的方向在随时间变化，故时间导数不为零。

矢量的加法按照中学所学的力的平行四边形法则来进行，即两个矢量的和矢量通过如下方式来确定：将两个矢量平移，使其始端重合于一点，以二者作为邻边的平行四边形在经过此点出发的对角线即为二者的和矢量，如下图表示 

但更加方便的是三角形法则：将两个矢量平移至二者首尾相连，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段即为二者之和矢量。如下图所示

如果自左至右代表矢量在和式中的顺序，上述左边代表 ，右边代表  ，都得到  。可见，从三角形法则可得出矢量的加法满足交换律。

三角形法则还可导致矢量的加法的结合律，如下图所示。可让  和  先结合为  ，再加上  ，也可让  和  先结合为  ，再与  相加，得到的结果一致。

三角形法则或者平行四边形法则是矢量必须满足的条件，有限大小的角位移因为不满足这个条件，故不是矢量。

根据三角形法则，多个矢量求和，只需将它们首尾连接，从第一个矢量的始端直连到最后一个矢量的末端，所得即为这些矢量之和，如下图所示

若多个矢量首尾连成一闭合回路，则其和为零，即对任意闭合路径，必有 对于矢量的减法，可按矢量的加法来理解：减去一个矢量等于加上一个等大反向的矢量，在此不再赘述。

矢量  和  的点积，也称点乘、标积或内积，表示为  ，其结果定义为标量，按照如下方式获得 其中  分别是  的大小（模），  是二者之间的夹角。很显然，矢量的点积满足交换律。

矢量  的叉积，也称叉乘或矢积，定义为矢量，表示如下 通过如下行列式的值来定义  的值 展开即为 

也可以如下图所示，让右手的食指沿着  的方向，中指沿着  的方向，则大拇指就是  方向。

很显然，矢量的叉积不满足交换律，交换相乘的矢量的顺序后得到的叉积与原来的叉积相反。

为什么是右手而不是左手，左右不是平等的吗？原因是，通常坐标系都被约定为所谓的“右手系”，如下图中右边的坐标系就是右手系。

在这种坐标系里，  三个轴的单位矢量  满足  的规律，而不是  ，因此我们就按照右手定则来判断矢量叉积的方向。

矢量  的时间导数是 如果矢量  方向不变，则右边第二项为0，可以不写，否则必须考虑矢量方向的时间导数。

考察如上图所示的一根长为  的棒子，它绕着端点  在平面内以匀角速度  旋转，在以  为原点的极坐标系中，端点  的位置矢量为  ，它的大小不变，但方向不断改变，它的导数为端点  的速度，即 

根据匀速圆周运动的规律，端点  的速度为  ，方向沿着切向，故比较这两式得 

我们看到，无论是  还是  ，因为大小不变，所以它们的时间导数具有相同的规律，其大小等于它旋转的角速度乘以自身的大小，方向则为与自身垂直。

由于角速度是矢量，上述规律可以写成更一般的形式，即对矢量  ，如果  恒定，则 

其中  是  旋转的角速度，这是一个普遍的规律，可据此快捷推导出向心加速度的表达式。

设函数  ，则其全微分为 

若  是  的函数，则  对  的导数为 

最常用的导数的定理有两个，第一个非常容易被忘记（比如我就是）。

定理一：分式求导规则：定理二：复合函数的求导规则：设  ，而  ，则 

至于 和 就不提了，是最基本的规律。

若函数  在开区间  内具有从1到  阶的导数，设  ，则 其中  介于x 与  之间，当  有界，则上式右边第二项在  时是  的高阶无穷小，称为余项，上式即泰勒公式。

若忽略余项，则得到函数的近似  阶泰勒展开式。 

类似的，有多元泰勒展开式如下 如经常用的二元函数的2阶泰勒展开为（其中一阶依次指的是对x和y的导数） 

在一些近似计算中会用到泰勒展开，例如平衡点附近的振动的分析，理解相对论动能与经典动能的关系等问题。 

直角坐标系中，一个标量函数  在按照如下计算 被定义为   的梯度，它给出了函数值变化最快的方向，是方向导数的一个特例。习惯上， 称之为哈密顿算子，读作nabla，或者倒三角。它是一个矢量，同时又是一个算子，即能够对函数施加一种运算的矢量符号。梯度是它对标量函数的运算，表示为  。典型的案例是保守力，它总是对应的势能函数梯度的负值，即 保守力场的强度与势的关系类似，例如电势的梯度就是电场强度的负值，即 

注意：这里只给出直角坐标系中梯度算符的表达式，对其他的坐标系的情况，请参考数学手册，下面散度和旋度也一样。

哈密顿算子对矢量函数有两种运算，如果是点积运算，则对应的是散度，如果是叉积运算，则对应的是旋度。

散度定义为 它是一个标量。典型的例子是静电场的电位移的散度——电荷密度，即 旋度定义为  

它是一个矢量，典型的例子是感生电场的旋度——磁场的变化率的负值，即 

对于大学物理来说，关于散度和旋度的，知道这些就够了，但是对于理论物理课程，例如电动力学，仅仅了解这些，还远远不够，例如还有拉普拉斯算子  ，表示对一个标量的梯度继续求散度导致的一个算符，即  显然就是 

注意：如果是对散度继续求梯度，则结果与拉普拉斯算子的结果不同。 关于梯度、散度和旋度的理解，后续有更详细的硬核内容，敬请关注。

请关注本文的后续内容：大学物理的数学必备(二）：积分。

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