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神经网络的5种常见求导,附详细的公式过程

作者丨Criss   来源丨机器学习与生成对抗网络


   01 derivative of softmax
1.1 derivative of softmax
一般来说,分类模型的最后一层都是softmax层,假设我们有一个  分类问题,那对应的softmax层结构如下图所示(一般认为输出的结果  即为输入  属于第i类的概率):
假设给定训练集  ,分类模型的目标是最大化对数似然函数  ,即
通常来说,我们采取的优化方法都是gradient based的(e.g., SGD),也就是说,需要求解  。而我们只要求得  ,之后根据链式法则,就可以求得  ,因此我们的核心在于求解  ,即 
由上式可知,我们只需要知道各个样本  的  ,即可通过求和求得  ,进而通过链式法则求得  。因此下面省略样本下标j,仅讨论某个样本  。
实际上对于如何表示  属于第几个类,有两种比较直观的方法:
  • 一种是直接法(i.e., 用  来表示x属于第3类),则  ,其中  为指示函数;

  • 另一种是one-hot法(i.e., 用  来表示x属于第三类),则  ,其中  为向量  的第  个元素。

  • p.s., 也可以将one-hot法理解为直接法的实现形式,因为one-hot向量实际上就是  。

为了方便,本文采用one-hot法。于是,我们有:

1.2 softmax & sigmoid
再补充一下softmax与sigmoid的联系。当分类问题是二分类的时候,我们一般使用sigmoid function作为输出层,表示输入  属于第1类的概率,即
然后利用概率和为1来求解  属于第2类的概率,即
乍一看会觉得用sigmoid做二分类跟用softmax做二分类不一样:
  • 在用softmax时,output的维数跟类的数量一致,而用sigmoid时,output的维数比类的数量少;

  • 在用softmax时,各类的概率表达式跟sigmoid中的表达式不相同。

但实际上,用sigmoid做二分类跟用softmax做二分类是等价的。我们可以让sigmoid的output维数跟类的数量一致,并且在形式上逼近softmax。
通过上述变化,sigmoid跟softmax已经很相似了,只不过sigmoid的input的第二个元素恒等于0(i.e., intput为  ),而softmax的input为  ,下面就来说明这两者存在一个mapping的关系(i.e., 每一个  都可以找到一个对应的  来表示相同的softmax结果。不过值得注意的是,反过来并不成立,也就是说并不是每个  仅仅对应一个  )。

因此,用sigmoid做二分类跟用softmax做二分类是等价的。


   02 backpropagation

一般来说,在train一个神经网络时(i.e., 更新网络的参数),我们都需要loss function对各参数的gradient,backpropagation就是求解gradient的一种方法。
假设我们有一个如上图所示的神经网络,我们想求损失函数  对  的gradient,那么根据链式法则,我们有
而我们可以很容易得到上述式子右边的第二项,因为  ,所以有
其中,  是上层的输出。
而对于式子右边的的第一项,可以进一步拆分得到
我们很容易得到上式右边第二项,因为  ,而激活函数  (e.g., sigmoid function)是我们自己定义的,所以有
其中,  是本层的线性输出(未经激活函数)。
观察上图,我们根据链式法则可以得到

其中,根据  可知
  和  的值是已知的,因此,我们离目标  仅差  和  了。接下来我们采用动态规划(或者说递归)的思路,假设下一层的  和  是已知的,那么我们只需要最后一层的graident,就可以求得各层的gradient了。而通过softmax的例子,我们知道最后一层的gradient确实可求,因此只要从最后一层开始,逐层向前,即可求得各层gradient。
因此我们求  的过程实际上对应下图所示的神经网络(原神经网络的反向神经网络):
综上,我们先通过神经网络的正向计算,得到  以及  ,进而求得  和  ;然后通过神经网络的反向计算,得到  和  ,进而求得  ;然后根据链式法则求得  。这整个过程就叫做backpropagation,其中正向计算的过程叫做forward pass,反向计算的过程叫做backward pass。

   03 derivative of CNN

卷积层实际上是特殊的全连接层,只不过:
神经元中的某些  为  ;
神经元之间共享  。
具体来说,如下图所示,没有连线的表示对应的w为0:
如下图所示,相同颜色的代表相同的  :
因此,我们可以把loss function理解为  ,然后求导的时候,根据链式法则,将相同w的gradient加起来就好了,即

在求各个  时,可以把他们看成是相互独立的  ,那这样就跟普通的全连接层一样了,因此也就可以用backpropagation来求。

   04 derivative of RNN

RNN按照时序展开之后如下图所示(红线表示了求gradient的路线):
跟处理卷积层的思路一样,首先将loss function理解为  ,然后把各个w看成相互独立,最后根据链式法则求得对应的gradient,即

由于这里是将RNN按照时序展开成为一个神经网络,所以这种求gradient的方法叫Backpropagation Through Time(BPTT)。

   05 derivative of max pooling

一般来说,函数  是不可导的,但假如我们已经知道哪个自变量会是最大值,那么该函数就是可导的(e.g., 假如知道y是最大的,那对y的偏导为1,对其他自变量的偏导为0)。
而在train一个神经网络的时候,我们会先进行forward pass,之后再进行backward pass,因此我们在对max pooling求导的时候,已经知道哪个自变量是最大的,于是也就能够给出对应的gradient了。

references:

http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML17_2.html
http://www.wildml.com/2015/10/recurrent-neural-networks-tutorial-part-3-backpropagation-through-time-and-vanishing-gradients/
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